Srednjeeuropsko matematičko natjecanje po prvi put je održano u rujnu 2007. godine. Iz svake zemlje sudjeluje po 6 učenika koji nisu sudjelovali iste godine na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi. Natjecanje se odvija u dva dijela: prvog dana pojedinačno natjecanje, a drugog dana ekipno.


Zadaci

Pojedinačno natjecanje

1. Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi, takvi da je a + b + c + d = 4. Dokaži da vrijedi a2bc + b2cd + c2da + d2ab ≤ 4.

2. Komplet kuglica sadrži n kuglica označenih brojevima 1, 2, 3,..., n. Dano je k > 1 takvih kompleta. Želimo obojiti kuglice u dvije boje, crnu i bijelu, tako da vrijede sljedeća svojstva:
(a) kuglice označene istim brojem obojene su istom bojom,
(b) svaki skup od k+1 kuglica označenih brojevima a1, a2,..., ak+1 (ne nužno različitim) za koje vrijedi a1 + a2 + ... + ak = ak+1, sadrži barem jednu crnu i barem jednu bijelu kuglicu.
Odredi, ovisno o k, najveći broj n za koji je takvo bojenje moguće.

3. Neka je k kružnica i k1, k2, k3, k4 četiri manje kružnice čija su središta O1, O2, O3, O4 redom, te neka ta središta leže na kružnici k. Za i = 1,2,3,4, uz k5 = k1, kružnice ki i ki+1 sijeku se u Ai i Bi, pri čemu Ai leži na k. Točke O1, A1, O2, A2, O3, A3, O4, A4 leže tim redom na kružnici k i sve su međusobno različite. Dokaži da je B1B2B3B4 pravokutnik.

4. Odredi sve parove (x,y) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu x! + y! = xy.

Ekipno natjecanje

1. Neka su a, b, c, d realni brojevi koji zadovoljavaju 1/2 ≤ a, b, c, d ≤ 2 i abcd = 1. Odredite najveću vrijednost izraza (a + 1/b)(b + 1/c)(c + 1/d)(d + 1/a).

2. Za skup P koji se sastoji od pet točaka ravnine u općem položaju, označimo s a(P) broj šiljastokutnih trokuta s vrhovima iz P. (Za skup točaka ravnine kažemo da su u općem položaju, ako nikoje tri od tih točaka ne leže na istom pravcu.) Odredite najveću moguću vrijednost od a(P).

3. MEMO-tetraedar je tetraedar (trostrana piramida) sa svojstvom da su duljine njegovih šest bridova međusobno različiti prirodni brojevi, od kojih je jedan 2, i jedan 3. Neka s(T) označava zbroj duljina bridova tetraedra.
(a) Odredite sve prirodne brojeve n, za koje postoji MEMO-tetraedar T, takav da je s(T) = n.
(b) Koliko ima nesukladnih MEMO-tetraedara T za koje vrijedi s(T) = 2007 ?
Dva tetraedra su nesukladna ako se ne mogu preslikati jedan na drugoga kompozicijom simetrija u odnosu na ravninu, translacija i rotacija. (Nije potrebno dokazivati da tetraedri nisu degenerirani, t.j. da imaju volumen veći od nule.)

4. Odredite sve prirodne brojeve k sa sljedećim svojstvom: postoji cijeli broj a takav da je (a + k)3 − a3 višekratnik od 2007.

Rezultati:

Članovi hrvatske ekipe:

Ivan Domladovec, Gimnazija Lucijana Vranjanina, Zagreb

Nina Kamčev, XV. gimnazija, Zagreb; brončana medalja

Ante Malenica, V. gimnazija, Zagreb

Ines Marušić, V. gimnazija, Zagreb; brončana medalja

Melkior Ornik, XV. gimnazija, Zagreb; srebrna medalja

Goran Žužić, V. gimnazija, Zagreb; brončana medalja

Rezultati ekipnog natjecanja:

1. Poljska, zlatna medalja

2. Hrvatska, srebrna medalja

3. Češka, brončana medalja

4. Slovačka

5. Austrija

6. Švicarska

7. Slovenija