Zadaci za 1. razred - B kategorija

1. Koja relacija povezuje brojeve a, b i c ako za neke x i y vrijede jednakosti a = x − y, b = x² − y², c = x³ − y³ ?

2. Zadan je pravokutan trokut ∆ABC, s pravim kutom pri vrhu C. Na kateti BC odaberimo točku A₁, a na kateti AC točku B₁.
Dokažite da je |AA₁|2 + |BB₁|2 = |AB|2 + |A₁B₁|2.

3. Dokažite da je broj 111...1 − 222...2 kvadrat prirodnog broja. (Prvi broj ima 2n znamenaka 1, a drugi n znamenaka 2.)

4. Kvadratu stranice duljine 1 upisana je kružnica, a nad njegovim stranicama kao promjerima konstruirane su četiri kružnice. Izračunajte opseg ''propelera'' na slici.




5. Nađite sve prirodne brojeve m, n ∈ N takve da vrijedi 1/m + 1/n − 1/(mn) = 2/5.

Zadnja promjena: Luka; 16/3/2008, 12:02; ukupno mijenjano 1 put.

Zadaci za 2. razred - B kategorija

1. Odredite sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva kojima je zbroj kvadrata jednak četveroznamenkastom broju s jednakim znamenkama.

2. Ako su a, b i c duljine stranica nekog trokuta, dokažite da je funkcija f(x) = b²x² + (b²+c²−a²) x + c² pozitivna za svaki realni x.

3. Dan je skup parabola y = (k−2) x² − 2kx + k+2, pri čemu je k ≠ 2 realni broj.
a) Dokažite da tjemena svih tih parabola leže na istom pravcu i odredite njegovu jednadžbu.
b) Imaju li sve ove parabole zajedničku točku?

4. Na dijagonalama AC i BD konveksnog četverokuta ABCD izabrane su redom točke M i N tako da je MB || AD i NA || BC.
Dokažite da je MN || CD.

5. Dokažite da za pozitivne brojeve a, b, c vrijede nejednakosti:
a) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca,
b) (ab+c²)/(a+b) + (bc+a²)/(b+c) + (ca+b²)/(c+a) ≥ a+b+c.

Zadaci za 3. razred - B kategorija

1. a) Dokažite da vrijedi tg 3x = tg x · tg(60° + x) · tg(60° − x).
b) Izračunajte tg 20° · tg 40° · tg 60° · tg 80°.

2. Ako su u konveksnom četverokutu jednaki zbrojevi kvadrata duljina suprotnih stranica, dokažite da su mu dijagonale okomite.

3. Trapezu ABCD je opisana i upisana kružnica. Omjer visine trapeza i polumjera opisane kružnice je √ 2/3 . Odredite kutove trapeza.

4. Pravilni oktaedar je tijelo sastavljeno od dvije pravilne četverostrane piramide sa zajedničkom osnovkom i preostala dva vrha simetrična s obzirom na ravninu te osnovke, takvo da svih 12 bridova imaju jednake duljine.
Odredite omjer volumena opisane i upisane kugle pravilnom oktaedru.

5. Dokažite da za sve proste brojeve p > 3 broj p² + 11 ima više od šest različitih prirodnih djelitelja (računajući 1 i samog sebe).

Zadaci za 4. razred - B kategorija

1. U pravokutniku ABCD zadane su točka E na stranici BC i točka F na stranici CD. Ako je trokut AEF jednakostraničan dokažite da je P∆ECF = P∆ABE + P∆AFD.

2. Pravac kroz točku (0,a), a>0, siječe simetrale kvadranata koordinatnog sustava u točkama A i B. Pokažite da polovišta dužine AB leže na hiperboli. Odredite jednadžbu i koordinate središta te hiperbole.

3. Dokažite da je najveći koeficijent u razvoju (a+b)2n paran broj.

4. Zbroj nekoliko uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 1000. Nađite sve takve nizove.

5. Ako su a₁, a₂,..., an, an+₁ uzastopni članovi aritmetičkog niza, dokažite da je 1/(a₁a₂) + 1/(a₂a₃) + 1/(a₃a₄) + ... + 1/(anan+₁) = n/(a₁an+₁).