Zadaci za 1. razred - B kategorija

1. Neka je x = (b2+c2 - a2) / (2bc) i y = ( a - b + c )( a + b - c ) / (( a + b + c )( b + c - a )). Dokaži da je ( x + 1 )( y + 1 ) = 2.

2. Za koje realne brojeve a jednadžba | x - 2 | + | 3 - x | = a ima točno dva rješenja ?

3. U pravokutnom trokutu ABC (γ= 90°), središte upisane kružnice udaljeno je od vrhova A, B, C redom za √5, √10, √2 cm. Odredi polumjer tom trokutu opisane kružnice.

4. Dokaži da ne postoje neparni cijeli brojevi x, y, z za koje vrijedi ( x + y )2 + ( x + z )2 = ( y + z )2.

5. Razred od 28 učenika dobio je za domaću zadaću 8 zadataka. Svaki učenik riješio je točno dva zadatka, a nikoja dva učenika nisu riješila ista dva zadatka. Pokaži da je svaki zadatak riješilo jednako mnogo učenika. Koliko?

Zadnja promjena: Luka; 16/3/2008, 12:02; ukupno mijenjano 1 put.

Zadaci za 2. razred - B kategorija

1. Ako je z = (1 + i )/√2, izračunajte zbroj 1 + z + z2 + z3 + … + z2006.

2. Odredi koliko rješenja ima sustav jednadžbi x ² - y ² = 0, ( x - a ) ² + y ² = 1, ovisno o vrijednosti realnog parametra a.

3. Na dužini AB odabrana je točka M i zatim su s iste strane dužine AB konstruirani jednakostranični trokuti AMD i MBC. Dokaži da četverokut ABCD ima najmanju površinu ako je M polovište dužine AB.

4. Neka su E i F točke na stranici AB pravokutnika ABCD takve da je | AE | = | EF |. Okomica na AB u točki E siječe dijagonalu AC u točki G, a dužine DF i BG sijeku se u točki H. Dokaži da su površine trokuta FBH i GHD jednake.

5. Mogu li se bridovi tetraedra označiti brojevima 1, 2, 3, 4, 5 i 6 (svaki broj za točno jedan brid) tako da zbrojevi brojeva bridova na svakoj njegovoj strani budu međusobno jednaki?

Zadaci za 3. razred - B kategorija

1. Ako vrijede jednakosti
x/a + y/b + z/c = 0 i a/x + b/y + c/z = 1

dokaži da vrijedi
a2/x2 + b2/y2 + c2/z2 = 1



2. Dokaži da nejednakost | √1+sin(2x) - √1-sin(2x) | ≤ √2 vrijedi za sve realne brojeve x.

3. U kružnicu polumjera 1 upisan je četverokut ABCD, pri čemu je AD promjer kružnice. Dokaži jednakost | AB | 2 + | BC | 2 + | CD | 2 + | AB | · | BC | · | CD | = 4 .

4. Oko polukugle polumjera r opisan je stožac duljine visine H, tako da su baze polukugle i stošca koncentrični krugovi. Izračunaj volumen onog dijela stošca koji ne pripada polukugli, tj. izrazi taj volumen pomoću r i H.

5. Između šest otoka uspostavljene su brodske veze. Svaki par otoka povezan je ili trajektom ili katamaranom. Dokaži da postoje tri otoka od kojih su svaka dva od njih povezana istovrsnom brodskom vezom.

Zadnja promjena: Luka; 21/3/2008, 10:48; ukupno mijenjano 2 put/a.

Zadaci za 4. razred - B kategorija

1. Niz (an) zadan je rekurzivno: a0 = 0, an = n + an-1, n∈N. Kojem broju je jednak a2006 ?

2. Dokaži da za svaki prirodan broj n vrijedi nejednakost ∑k=1n ( 1 / √k ) ≥ √n

3. Valjkasta posuda polumjera osnovke r = 4 cm i duljine visine v = 16 cm napunjena je vodom. Odredi kut za koji treba nagnuti posudu prema ravnini osnovke tako da iz nje iscuri četvrtina vode.

4. Odredi tangens kuta koji zatvaraju zajedničke tangente krivulja x² + 2 y² = 2 i y² = 4 x.

5. Između šest otoka uspostavljene su brodske veze. Svaki par otoka povezan je ili trajektom ili katamaranom. Dokaži da postoje tri otoka od kojih su svaka dva od njih povezana istovrsnom brodskom vezom.