Zadaci za 1. razred - A kategorija

1. Odredi sve troznamenkaste brojeve xyz (x, y, z su dekadske znamenke) koji su jednaki izrazu x + y + z + xy + yz + zx + xyz.

2. Neka su a, b, c realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a. Dokaži da je a + 1/b = - abc.

3. Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

4. U polja kvadrata 3×3 treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude 270. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Zadnja promjena: Luka; 16/3/2008, 12:01; ukupno mijenjano 1 put.

Zadaci za 2. razred - A kategorija

1. Odredi sve cijele brojeve m, n za koje vrijedi m3 + n3 = (m + n)2.

2. Neka su x, y, z pozitivni realni brojevi takvi da je xyz = 1. Dokaži nejednakost
x - 1 + y - 1 + z - 1 ≥ 0
y + 1 z + 1 x + 1


3. Kružnice C1 i C2 sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C2 povučena iz točke A siječe kružnicu C1 u točki C, a tangenta kružnice C1 povučena iz točke A siječe kružnicu C2 u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C1 u točki M, kružnicu C2 u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.

4. U polja kvadrata 3×3 treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude 270. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Zadaci za 3. razred - A kategorija

1. Duljine stranica trokuta su a, b i c=(a2-b2)/√ a2 + b2 , a>b. Dokaži da za kutove α i β, nasuprotne stranicama a i b, vrijedi α-β=90°.

2. U jednakokračnom trokutu ABC s krakovima AB i AC, D je polovište osnovice BC. Neka je točka E nožište okomice iz D na stranicu AB, te F polovište dužine DE. Dokaži da je AF okomito na EC.

3. Kružnice C1 i C2 sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C2 povučena iz točke A siječe kružnicu C1 u točki C, a tangenta kružnice C1 povučena iz točke A siječe kružnicu C2 u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C1 u točki M, kružnicu C2 u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.

4. Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka A, B, C i D i poduzeće čiji brodovi plove na linijama A↔B, B↔C, C↔D, D↔A).

Zadaci za 4. razred - A kategorija

1. Dokaži da sjecište pravaca koji sadrže visine trokuta, kojeg tvore tri tangente parabole, leži na ravnalici te parabole.

2. Ako su k i n prirodni brojevi, dokaži da je izraz (n4 - 1) (n3 - n2 + n - 1)k + (n + 1) n4k-1, djeljiv s n5 + 1.

3. Kružnice C1 i C2 sijeku se u točkama A i B. Tangenta kružnice C2 povučena iz točke A siječe kružnicu C1 u točki C, a tangenta kružnice C1 povučena iz točke A siječe kružnicu C2 u točki D. Polupravac kroz točku A, koji leži unutar kuta ∠CAD, siječe kružnicu C1 u točki M, kružnicu C2 u točki N i kružnicu opisanu trokutu ACD u točki P. Dokaži da je udaljenost točaka A i M jednaka udaljenosti točaka N i P.

4. Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka A, B, C i D i poduzeće čiji brodovi plove na linijama A↔B, B↔C, C↔D, D↔A).